Question

如图，动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x²=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦，当圆心D运动时，记|AM|=m，|AN|=n．
（Ⅰ）求证：|MN|为定值；
（Ⅱ）求

m2+n2

mn

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设圆心（a，

a2

4

），则圆为（x-a）²+（y-

a2

4

）²=a²+（2-

a2

4

）²，由此能证明|MN|=4．
（Ⅱ）令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，又由S_△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA=4，得

16

mn

=2sinθ，由此能求出当θ=

π

4

时，

m2+n2

mn

取最大值2

2

．

解答： （Ⅰ）证明：设圆心（a，

a2

4

），
则圆为（x-a）²+（y-

a2

4

）²=a²+（2-

a2

4

）²，
当y=0时，x=a±2，
∵MN为圆D在x轴上截得的弦，
∴|MN|=4．
（Ⅱ）解：令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由S_△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA
=

1

2

×4×2=4，
∴

16

mn

=2sinθ，
∴

m2+n2

mn

=

m

n

+

n

m

=2（sinθ+cosθ）
=2

2

sin（θ+

π

4

）≤2

2

，
∴当θ=

π

4

时，

m2+n2

mn

取最大值2

2

．

点评：本题考查圆的弦长为定值的证明，考查代数式的值的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．