Question

已知圆M：（x+1）²+y²=16及定点N（1，0），点P是圆M上的动点，点Q在线段NP上，点G在线段MP上，且满足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（Ⅰ）求点G的轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在不垂直于坐标轴的直线l和（1）中所求轨迹C相交于不同两点A，B，且满足|NA|=|NB|，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,直线的一般式方程,轨迹方程

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）如图所示，由

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0可得GQ垂直平分线段NP，可得|GM|+|GN|=|MP|=R=4＞|MN|=2．
利用椭圆的定义可得：点G的轨迹C是以M，N为焦点，2a=4为长轴长的椭圆，即可得出．
（II）由于|NA|=|NB|，则A，B两点必定在以N（1，0）为圆心，r为半径的圆上：（x-1）²+y²=r²，而此圆与椭圆都关于x轴对称，其交点AB必定与x轴垂直，即可判断出．

解答： 解：（I）如图所示，∵

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
∴Q是线段NP的中点，GQ⊥NP，连接GN．
∴|GN|=|GP|．
∴|GM|+|GN|=|MP|=R=4＞|MN|=2．
∴点G的轨迹C是以M，N为焦点，2a=4为长轴长的椭圆，
其方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）不存在不垂直于坐标轴的直线l和（I）中所求轨迹C相交于不同两点A，B，且满足|NA|=|NB|．
∵|NA|=|NB|，则A，B两点必定在以N（1，0）为圆心，r为半径的圆上：（x-1）²+y²=r²，而此圆与椭圆都关于x轴对称，其交点AB必定与x轴垂直，
∴不存在不垂直于坐标轴的直线l和（I）中所求轨迹C相交于不同两点A，B，且满足|NA|=|NB|．

点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、圆的性质、线段的垂直平分线的性质、向量的共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．