Question

已知圆C的方程可以表示为x²+y²-2x-4y+m=0，其中m∈R．
（1）若m=1，求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

考点：二元二次方程表示圆的条件,直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出圆心到直线的距离，即可求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与圆的方程联立可得△＞0及根与系数关系，再利用OM⊥ON，x₁x₂+y₁y₂=0即可解出m．

解答： 解：（1）m=1，配方得（x-1）²+（y-2）²=4，圆心到直线的距离为

|1+2-1|

2

=

2

所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2

4-2

=2

2

（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直线代入圆的方程得5x²-8x+4（m-4）=0，
所以x₁+x₂=

8

5

，x₁x₂=

4(m-4)

5

因为OM⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以

5

4

×

4(m-4)

5

-

8

5

+4=0，
所以m=

8

5

，此时△＞0

点评：本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．