Question

如图所示，已知四棱锥P-ABCD是底面边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PB=

2

，PC=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连结PO，CO；由PO⊥AB，PO⊥CO证明PO⊥平面ABCD，从而证明平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．

解答： 解：（Ⅰ）取AB的中点O，连结PO，CO．
∵PA=PB，
∴PO⊥AB．
在△POC中，求得PO=1，CO=

3

．
又PC=2，
∴PC²=PO²+CO²，
∴PO⊥CO．
又∵AB?平面ABCD，CO?平面ABCD，AB∩CO=O，
∴PO⊥平面ABCD．
又∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．则
O(0，0，0)，A(-1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，

3

，0)，P(0，0，1)，
于是

PA

=(-1，0，-1)，

PB

=(1，0，-1)，

PC

=(0，

3

，-1)．
设平面APC的法向量为

m

=(x，y，z)，
则由题意，

m • PA =-x-z=0 m • PC = 3 y-z=0.

取x=1得，

m

=(1，-

3

3

，-1)．
设平面BPC的法向量为

n

=(x1，y1，z1)，
则由题意，

n • PB =x1-z1=0 n • PC = 3 y1-z1=0.

取x₁=1得，

n

=(1，

3

3

，1)．
于是cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |• |n |

=-

1

7

，sin＜

m

，

n

＞=

4 3

7

．
所以，所求二面角的正弦值为

4 3

7

．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，及空间直角坐标系中求二面角的大小，考查比较全面，属于中档题．