Question

已知函数f（x）=x³-ax²+2（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-

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成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0时，在曲线y=f（x）上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），使得曲线在A，B两点处的切线均与直线x=2交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-2ax，得3x²-2ax≥|x|-

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，由此利用导数性质能求出a的范围．
（Ⅲ）设线与与直线x=2有公共点为P（2，t），a=0时，f（x）=x³+2，f′（x）=3x²，由此利用导数的几何意义结合已知条件能求出在曲线y=f（x）上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），使得曲线在A，B两点处的切线均与直线x=2交于同一点，交点纵坐标的最大值为10．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），
①a＞0时，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

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a，
∴f（x）在（0，

2

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a）递减，
②a=0时，f′（x）=3x²，无递减区间，
③a＜0时，令f′（x）＜0，解得：

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a＜x＜0，
∴f（x）在（

2

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a，0）递减．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-2ax，
∴3x²-2ax≥|x|-

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4

，
①x≥0时，
3x²-（2a+1）x+

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≥0，
△=（2a+1）²-4×3×

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≤0，
解得：-2≤a≤1，
②x＜0时，
3x²-（2a-1）x+

3

4

≥0，
△=（2a-1）²-4×3×

3

4

≤0，
解得：-1≤a≤2，
综上，a的范围是：{a|-1≤a≤1}．
（Ⅲ）设线与与直线x=2有公共点为P（2，t），
a=0时，f（x）=x³+2，f′（x）=3x²，
在曲线y=f（x）上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
使得曲线在A，B两点处的切线均与直线x=2交于同一点，
f′(x1)=3x12，∴以A为切点的切线方程为y-x₁³-2=3x₁²（x-x₁），
∵点P（2，t）在切线上，∴t-x13-2=3x12（2-x₁），即2x13-6x 12+t-2=0，
同理2x23-6x22+t-2=0，
设g（x）=2x³-6x²+t-2，
则原问题等价于函数g（x）至少有两个不同的零点，
∵g′（x）=6x²-12x=6（x-2）x，
当x＜0或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）在x=0处取得极大值g（0）=t-2，在x=2处取得极小值g（2）=t-10，
若要满足g（x）至少有两个不同的零点，
则需满足

t-2≥0 t-10≤0

，解得2≤t≤10．
∴在曲线y=f（x）上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
使得曲线在A，B两点处的切线均与直线x=2交于同一点，交点纵坐标的最大值为10．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．