Question

对于正整数n≥2，用T_n表示关于x的一元二次方程x²+2ax+b=0有实数根的有序数组（a，b）的组数，其中a，b∈{1，2，…，n²}（a和b可以相等）；对于随机选取的a，b∈{1，2，…，n}（a和b可以相等），记P_n为关于x的一元二次方程x²+2ax+b=0有实数根的概率．
（1）求T n2和P n2；
（2）求证：对任意正整数n≥2，有P_n＞1-

1

n

．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）若方程x²+2ax+b=0有实数根，即△=4a²-4b≥0，即b≤a²，分①当n≤a≤n²时，和②当1≤a≤n-1时，两种情况讨论，进而可得T n2和P n2；
（2）若证对任意正整数n≥2，有P_n＞1-

1

n

．只需要证明：对于随机选取的a，b∈{1，2，…，n}，方程x²+2ax+b=0无实数根的概率1-P_n＜

1

n

，进而可得答案．

解答： 解：（1）∵方程x²+2ax+b=0有实数根，
∴△=4a²-4b≥0，
即b≤a²，
①当n≤a≤n²时，有n²≤a²，
又b∈{1，2，…，n}
故总有b≤a²，
此时a有n²-n+1种取法，b有n²种取法，
所以共有（n²-n+1）n²组有序数组（a，b）满足条件；
②当1≤a≤n-1时，满足1≤b≤a²的b有a²种取法，
故共有1²+2²+3²+…+（n-1）²=

n(n-1)(2n-1)

6

组有序数组（a，b）满足条件；
由①②可得：T n2=（n²-n+1）n²+

n(n-1)(2n-1)

6

=

n(6n3-4n2+n+1)

6

P n2=

Tn2

n4

=

6n3-4n2+n+1

6n3

；
证明：（2）若证对任意正整数n≥2，有P_n＞1-

1

n

．
只需要证明：对于随机选取的a，b∈{1，2，…，n}，方程x²+2ax+b=0无实数根的概率1-P_n＜

1

n

．
若方程x²+2ax+b=0无实数根，
则△=4a²-4b＜0，
即b＞a²，
由b≤n得：a＜

n

，
因此，满足b＞a²的有序数组（a，b）的组数小于n

n

，
从而方程x²+2ax+b=0无实数根的概率1-P_n＜

n n

n2

=

1

n

．
所以，对任意正整数n≥2，有P_n＞1-

1

n

．

点评：本题考查的知识点是概率与统计，一元二次方程根的个数与△的关系，分析法证明，是概率与方程的综合运用，难度中档．