Question

过抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限．
（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；
（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交与A、B两点，且直线AB过点（0，-1），求△MAB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）抛物线C的准线x=-

p

2

，依题意M（4-

p

2

，4），则4²=2p（4-

p

2

），即可求抛物线C的方程及点M的坐标；
（2）求出线AB的方程，与抛物线方程联立，求出|AB|、点M到直线AB的距离，即可求△MAB的面积．

解答： 解：（1）抛物线C的准线x=-

p

2

，依题意M（4-

p

2

，4），
则4²=2p（4-

p

2

），解得p=4．
故抛物线C的方程为y²=8x，点M的坐标为（2，4），…（4分）
（2）设A（

y 2 1

8

，y₁），B（

y 2 2

8

，y₂）．
直线MA的斜率k₁=

y1-4

y 2 1 8 - y 2 2 8

=

8

y1+4

，同理直线MB的斜率k₂=

8

y2+4

．
由题设有

8

y1+4

+

8

y2+4

=0，整理得y₁+y₂=-8．
直线AB的斜率k=

y1-y2

y 2 1 8 - y 2 2 8

=

8

y1+y2

=-1．…（8分）
于是直线AB的方程为y=-x-1．
由

y2=8x y=-x-1

得y²+8y+8=0．
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

2

，
于是|AB|=

2

|y₁-y₂|=8．…（10分）
点M到直线AB的距离d=

|2+4+1|

2

=

7 2

2

，
则△MAB的面积S=

1

2

|AB|•d=14

2

．…（12分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．