Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=1+x．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（2）若k＞1，证明：当|x|＜k时，[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得h′（x）=e^x-1．由此利用导数性质能求出h（x）取最小值h（0）=0．
（Ⅱ）[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

，等价于[e

x

k

（1-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

，由此利用导数性质能证明|x|＜k时，[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x，g（x）=1+x，
∴h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-x，h′（x）=e^x-1．
当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
当x=0时，h（x）取最小值h（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

，即[e

x

k

（1-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

．①
由（Ⅰ）知，f（

x

k

）-g（

x

k

）≥0，即e

x

k

≥1+

x

k

，
又1-

x

k

＞0，则e

x

k

（1-

x

k

）＞（1+

x

k

）（1-

x

k

）=1-

x2

k2

＞0．
所以[e

x

k

（1-

x

k

）]^k＞（1-

x2

k2

）^k．②…（7分）
设φ（t）=（1-t）^k-1+kt，t∈[0，1]．
由k＞1知，当t∈（0，1）时，φ′（t）=-k（1-t）^k-1+k=k[1-（1-t）^k]＞0，
φ（t）在[0，1]单调递增，当t∈（0，1）时，φ（t）＞φ（0）=0．
因为

x2

k2

∈（0，1），所以φ（

x2

k2

）=（1-

x2

k2

）^k-1+k•

x2

k2

＞0，
因此不等式②成立，从而不等式①成立．
故当|x|＜k时，[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

．…（12分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．