Question

已知函数f（x）=2n

1+x2

-x在（0，+∞）上的最小值是a_n（n∈N_+））．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）证明：

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

2

．
（3）在点列A_n（2n，a_n）…．中是否存在两点A_i，A_j 其中i，j∈N₊，使直线A_iA_j的斜率为1，若存在，求出所有数对i，j，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列递推式

专题：导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求出原函数的导函数，得到原函数的极小值点，求得极小值，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）由裂项相消法证明不等式

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

2

；
（3）设出点列中的两点A_i（2i，a_i），A_j（2j，a_j）．代入两点求斜率公式可得答案．

解答： （1）解：由f（x）=2n

1+x2

-x，得f'（x）=

2nx

1+x2

-1．
令f'（x）=0，得x=

1

4n2-1

．
当x∈（0，

1

4n2-1

）时，f'（x）＜0．
当x∈（

1

4n2-1

，+∞）时，f'（x）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上有极小值f（

1

4n2-1

）=

4n2-1

．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=

4n2-1

；
（2）证明：∵

1

an2

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
（3）解：依题意，设A_i（2i，a_i），A_j（2j，a_j）．其中i，j∈N₊是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k=

ai-aj

2(i-j)

=

4i2-1 - 4j2-1

2(i-j)

=

4(i2-j2)

2(i-j)( 4i2-1 + 4j2-1 )

=

2(i+j)

( 4i2-1 + 4j2-1 )

＞

2(i+j)

( 4i2 + 4j2 )

=1．
∴不存在这样的点列，使直线AiAj的斜率为1．

点评：本题是数列与函数综合题，考查了数列递推式，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是较难题．