Question

连续抛两次质地均匀的骰子得到的点数分别为m和n，将m，n作为Q点的横、纵坐标．
（1）记向量

a

=（m，n），

b

=（1，-1）的夹角为θ，求θ∈（0，

π

2

]的概率；
（2）求点Q落在区域|x-2|+|y-2|≤2内的概率．

Answer 1

考点：几何概型,数量积表示两个向量的夹角

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）本题考查的知识点是古典概型的意义，关键是要列出连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向

a

=（m，n）的个数，及满足θ∈（0，

π

2

]的向量

a

的个数，再将它们代入古典概型的计算公式进行求解；
（2）掷两次骰子，会有6×6=36种可能，点P（m，n）落在区域|x-2|+|y-2|≤2内，即|m-2|+|n-2|≤2，有11种可能，代入古典概型的计算公式进行求解．

解答： 解：（1）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量

a

=（m，n）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件
若θ∈（0，

π

2

]，则m≥n，则满足条件的

a

=（m，n）有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2）
（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3）
（6，4），（6，5），（6，6），共21个基本事件
则P=

21

36

=

7

12

；
（2）掷两次骰子，会有6×6=36种可能．
点P（m，n）落在区域|x-2|+|y-2|≤2内，即|m-2|+|n-2|≤2，则共有以下可能性．
①（1，1）（1，2）（1，3）；
②（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）；
③（3，1）（3，2）（3，3）；
④（4，2）；
这11个点都满足|m-2|+|n-2|≤2，即所求概率为P=

11

36

．

点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．