Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，从顶点A₁向底面ABC作垂线，垂足O恰好为AC边的中点，四边形A₁ACC₁为菱形，且∠A₁AC=60°，在△ABC中，AB=BC=

2

，AB⊥BC．
（Ⅰ）求证：平面A₁ACC₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的性质,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由A₁O⊥平面ABC，能证明平面A₁ACC₁⊥平面ABC．
（Ⅱ）连结OB，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．
（Ⅲ）设E（x₀，y₀，z₀），

BE

=λ

BC1

，得E（1-λ，2λ，

3

λ），由此利用向量法能求出存在这样的点E，E为BC的中点．

解答： （Ⅰ）证明：∵A₁O⊥平面ABC，A₁O?平面AA₁C₁C，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：连结OB，由题意得A₁O⊥OC，A₁O⊥OB，OB⊥OC，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=

2

，AB⊥BC
∴AC=2，OB=

1

2

AC=1，
又∵四边形A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，
∴A₁A=A₁C=AC=2，
∴O（0，0，0），A（0，-1，0），A₁（0，0，

3

），
C（0，1，0），C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)，
∴

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)，
设平面AA₁B的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AA1 =y+ 3 z=0 n • AB =x+y=0

，取x=-1，得

n

=(-1，1，-

3

3

)，
∴cos＜

n

，

A1C

＞=

1+ 1 3

2 1+1+ 1 3

=

21

7

，
∵直线A₁C与平面A₁AB所成角与＜

n

，

A1C

＞互余，
∴直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值为

21

7

．
（Ⅲ）解：设E（x₀，y₀，z₀），

BE

=λ

BC1

，
即（x₀-1，y₀，z₀）=λ(-1，2，

3

)，
得

x0=1-λ y0= 2 λ z0= 3 λ

，∴E（1-λ，2λ，

3

λ），
∴

OE

=(1-λ，2λ，

3

λ)，
令OE∥平面A₁AB，得

OE

•

n

=0，
∴-（1-λ）+2λ-λ=0，解得λ=

1

2

，
即存在这样的点E，E为BC的中点．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要注意向量法的合理运用．