Question

（Ⅰ）若对?x∈R，不等式|x-1|+x+|x+1|≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）已知min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

，若y=min{

3

|x-1|

，

1

|x-9|

}，求y的最大值及相应的实数x的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,不等式

分析：对第（Ⅰ）小问，只需a小于或等于|x-1|+x+|x+1|的最小值，从而转化为求|x-1|+x+|x+1|的最小值问题．分“x≥1”“-1＜x＜1”“x≤-1”讨论，作出其图象，即得最小值；
对第（Ⅱ）小问，由已知可得y关于x的函数关系式，从而画出此函数的图象，找到最高点，即可求得y的最大值及相应的实数x的值．

解答： 解：（Ⅰ）令函数y=|x-1|+x+|x+1|，
由题意知，只需a≤y的最小值即可．
当x≥1时，y=（x-1）+x+（x+1）=3x；
当-1＜x＜1时，y=（1-x）+x+（x+1）=x+2；
当x≤-1时，y=（1-x）+x（-1-x）=-x．
作出此函数的图象，如图1所示，
可知当x=-1时，函数有最小值y_min=-（-1）=1．
所以a≤1．
（Ⅱ）作出函数y=

3

x-1

的图象，再将y＜0的部分沿x轴对折，即得y=

3

|x-1|

的图象，
同理可得y=

1

|x-9|

的图象．
联立

3

|x-1|

=

1

|x-9|

，有x-1=3（x-9），或x-1=-3（x-9），得x=7或13．
当x=7时，y=

1

2

；当x=13时，y=

1

4

．
从而得y=

3

|x-1|

的图象与y=

1

|x-9|

的图象的交点为A（7，

1

2

），B（13，

1

4

）．
由图象知，当x≤7时，y=

1

|x-9|

=

1

9-x

；
当7＜x＜13时，y=

3

|x-1|

=

3

x-1

；
当x≥13时，y=

1

|x-9|

=

1

x-9

．
∴y有最大值

1

2

，此时，x=7．

点评：本题考查了绝对值函数的最值问题，利用图象法求解具有直观、明确等优点，关键是先将函数改写成分段函数的形式，再画出其图象，寻找图象的最高点或最低点．