Question

如图是利用圆x²+y²=2、函数y=x²及y=-x²的图象得到的．在这个圆内任取一点，则此点落在阴影部分的概率是（　　）

• A、

  1

  2

  -

  2

  3π

• B、

  1

  2

  +

  2

  3π

• C、

  1

  2

  +

  1

  3π

• D、

  1

  2

  -

  1

  3π

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：联立

x2+y2=2 y=x2

可解得圆x²+y²=2和函数y=x²及的交点，进而结合对称性可由定积分求阴影的面积，由几何概型的概率公式可得．

解答： 解：联立

x2+y2=2 y=x2

可解得圆x²+y²=2和函数y=x²及的交点为（1，1），（-1，1），
设阴影面积为S，则由对称性可知S=4（

∫

1 0

x2dx

+∫

2 1

2-x2dx

），
求定积分可得

∫

1 0

x2dx=

1

3

x3

|

1 0

=

1

3

，
求

∫

2 1

2-x2dx

时，设x=

2

sint，t∈[

π

4

，

π

2

]，
则

∫

2 1

2-x2dx

=

∫

π 2 π 4

(

2

cost)•

2

costdt
=

∫

π 2 π 4

2cos2tdt=

∫

π 2 π 4

(1+cos2t)dt
=（t+

1

2

sin2t）

|

π 2 π 4

=

π

4

-

1

2

，∴S=π-

2

3

，
∴此点落在阴影部分的概率P=

π- 2 3

2π

=

1

2

-

3

π

故选：D

点评：本题考查几何概型，由定积分求解阴影的面积是解决问题的关键，涉及换元法的应用，属中档题．