Question

已知函数f（x）=x（a+lnx）的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k为整数时，k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；
（Ⅱ）构造g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求导函数，令h（x）=x-lnx-2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4），进而可得g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1（4分）
（Ⅱ）k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，∴k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1恒成立，
由（1）知，f（x）=x+xlnx，
令g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，则g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，-----------------------（5分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′（x）=

x-1

x

＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）
所以函数g（x）=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以g（x）_min=g（x₀）=x₀．
因为x₀＞3，所以x＞1时，k＜3恒成立     
故整数k的最大值是3．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．