Question

已知x满足不等式（log₂x）²-log₂x²≤0，求函数y=4^x-2^x+2的最小值．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由于x满足不等式（log₂x）²-log₂x²≤0，化为log₂x（log₂x-2）≤0，0≤log₂x≤2，解得1≤x≤4，由于函数y=4^x-2^x+2=（2^x）²-2•2^x=（2^x-1）²-1，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵x满足不等式（log₂x）²-log₂x²≤0，
∴log₂x（log₂x-2）≤0，
∴0≤log₂x≤2，
解得1≤x≤4，
∴2≤2^x≤2⁴=16．
∴函数y=4^x-2^x+2=（2^x）²-2•2^x=（2^x-1）²-1，
∴当2^x=2，即x=1时，函数y=（2^x-1）²-1取得最小值0，
∴函数y=4^x-2^x+2的最小值为0．

点评：本题查克拉指数函数与对数函数的单调性、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．