Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A为椭圆上一点，当△AF₁F₂的面积最大时，△AF₁F₂为等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得

PM

•

QM

=0，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆性质可知当点A为椭圆短轴端点时△AF₁F₂的面试最大，得到a，c的关系，则答案可求；
（Ⅱ）由椭圆离心率设出椭圆方程3x²+4y²-12t=0，和直线方程联立得到关于x的一元二次方程，由判别式等于0得到m，k，t的关系，用m，k表示P的坐标，结合x轴上存在一定点M（1，0），使得

PM

•

QM

=0求得t的值，则椭圆方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）当点A为椭圆短轴端点时△AF₁F₂的面试最大．
此时a=2c，离心率e=

1

2

；
（Ⅱ）∵e=

c

a

=

1

2

，
∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，

b2

a2

=

3

4

，
可设b²=3ta²=4t，
∴椭圆的方程为3x²+4y²-12t=0．
由

3x2+4y2-12t=0 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0．
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，
∴△=0，即64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12t）=0．
整理得m²=3t+4k²t．
设P（x₁，y₁），则有x1=-

8km

2(3+4k2)

=-

4km

3+4k2

，y1=kx1+m=

3m

3+4k2

，
∴P（-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

）．
又M（1，0），Q（4，4k+m），
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴(1+

4km

3+4k2

，-

3m

3+4k2

)•(-3，-(4k+m))=0恒成立．
整理得3+4k²=m²，
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1，
所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．