Question

如图所示，在直三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，CA=CB=1，AA₁=2，且N是棱A₁B₁的中点，
（Ⅰ）求证：A₁B⊥C₁N；
（Ⅱ）求直线A₁B和直线B₁C夹角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由C₁A₁=C₁B₁，且N是棱A₁B₁的中点，可得C₁N⊥A₁B₁．由直三菱柱ABC-A₁B₁C₁可得：AA₁⊥C₁N，利用线面垂直的判定与性质即可得出．
（II）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：（I）∵C₁A₁=C₁B₁，且N是棱A₁B₁的中点，∴C₁N⊥A₁B₁．
由直三菱柱ABC-A₁B₁C₁可得：AA₁⊥C₁N，又AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁N⊥平面A₁B．
∴C₁N⊥A₁B．
（II）A₁（1，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2）．
∴

A1B

=（-1，1，-2），

CB1

=（0，1，2）．
∴cos＜

A1B

，

CB1

＞=

A1B • CB1

| A1B || CB1 |

=

-3

6 × 5

=-

30

10

．
∴直线A₁B和直线B₁C夹角的余弦值为

30

10

．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质、利用向量的夹角公式求异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题．