Question

已知定圆M：（x+1）²+y²=16，动圆N过点D（1，0），且和圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=3在y轴右边部分上有一点P，过点P作该圆的切线l：y=kx+m，且直线l交曲线C于A、B两点，求△ABD的周长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用动圆P与定圆（x-1）²+y²=16相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心P的轨迹M的方程；
（Ⅱ）由

|m|

1+k2

=

3

，即|m|=

3

•

1+k2

．联立直线与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，求出△ABD的三条边，即可求△ABD的周长．

解答： 解：（Ⅰ）定圆M的圆心M（-1，0），半径r₁=4，设动圆N的圆心为N（x，y），半径为r₂，点D在圆M内，
从而与圆N内切，故|MN|=r₁-r₂=4-|ND|．
所以|MN|+|ND|=4＞|MD|-2，故点N的轨迹是以M、D为焦点的椭圆…（2分）
设其方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由2a=4，2c=2，c²=a²-b²．
解得a²=4，b²=3，则椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（Ⅱ）因为切线l：y=kx+m是圆O在y轴右边部分上的一点的切线．
所以k＜0，m＞0或k＞0，m＜0，由

|m|

1+k2

=

3

，即|m|=

3

•

1+k2

．
联立直线与椭圆方程，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8km

4k2+3

；x₁•x₂=

4m2-12

4k2+3

．
所以|AB|=

1-k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+ x   2 )2-4x1x2

=

1+k2

(- 8km 3+4k2 )2-4• 4m2-12 3+4k2

=

1+k2

12×4(4k2-m2+3) (3-4k2)2

-

|m| 3 ×4 3 |k|

3+4k2

-

4|km|

3+4k2

由于k＜0，m＞0或k＞0，m＜0，故|AB|=

-4km

3+4k2

…（9分）
又AD2=(x1 +1)2+y12=(x1+1)2+3(1-

x12

4

)=

1

4

(x1-1)2，
所以|AD|=2-

1

2

x1，同理|BD|=

1

2

(4-x2)=2-

1

2

x2，
所以|AD|+|BD|=4-

1

2

(x1+x2)=4+

4km

3+4k2

，
所以|AD|+|BD|+|AB|=4-

1

2

(x1+x2)=4+

4km

3+4k2

-

4km

3+4k2

=4．
综上所述：△ABD的周长为4…（13分）

点评：本题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，解题时要注意公式的灵活运用，此题有一定难度．