Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）．记f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）求f（x）的周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f（A）=

1+ 3

2

，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由题意利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换可得f（x）=

m

•

n

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，由此可得函数的最小正周期．
（Ⅱ）在△ABC中，根据（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理求得cosB=

1

2

，B=

π

3

．再由f（A）=

1+ 3

2

，求得A=

π

3

，可得 C=

π

3

，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
故函数的最小正周期为

2π

1 2

=4π．
（Ⅱ）在△ABC中，根据（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理，可得 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．
∵f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

=

1+ 3

2

，∴sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

，∴

A

2

+

π

6

=

π

3

，或

A

2

+

π

6

=

2π

3

．
求得A=

π

3

，或A=π（舍去），即A=

π

3

，∴C=

π

3

，故△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的周期性，三角恒等变换，三角形内角和公式，属于基础题．