Question

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为

1

2

，中奖可以获得3分；方案乙的中奖率为

2

3

，中奖可以得2分；未中奖则不得分，每人有且只有两次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小亮选择方案甲、方案乙各抽奖一次，求他的累计得分不为零的概率；
（Ⅱ）若小亮的抽奖方式是在方案甲、或方案乙中选择其一连抽两次，或选择方案甲、方案乙各抽一次，求小亮选择哪一种方式抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知得小亮用方案甲中奖的概率为

1

2

，用方案乙中奖的概率为

2

3

，两次中奖与否互不影响，记“两次抽奖的累计得分为零”的事件为A，由此能求出他的累计得分不为0的概率．
（Ⅱ）设小亮两次都选择方案甲抽奖中奖的次数为X₁，都选择方案乙抽奖中奖的次数为x₂，则两次选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（3X₁），两次选择方案乙抽奖得分为Y，其累计得分的数学期望为EY，由已知得X₁～B（2，

1

2

），X₂～B（2，

2

3

），由此能求出小亮两次都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望最大．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得小亮用方案甲中奖的概率为

1

2

，用方案乙中奖的概率为

2

3

，
两次中奖与否互不影响，记“两次抽奖的累计得分为零”的事件为A，
∵P（A）=（1-

1

2

）（1-

2

3

）=

1

6

，
P（

.

A

）=1-P（A）=1-

1

6

=

5

6

，
∴他的累计得分不为0的概率为

5

6

．
（Ⅱ）设小亮两次都选择方案甲抽奖中奖的次数为X₁，
都选择方案乙抽奖中奖的次数为x₂，
则两次选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（3X₁），
两次选择方案乙抽奖得分为Y，其累计得分的数学期望为EY，
由已知得X₁～B（2，

1

2

），X₂～B（2，

2

3

），
E（X₁）=2×

1

2

=1，E(X2)=2×

2

3

=

4

3

，
∴E（3X₁）=3，E(2X2)=2E(X2)=

8

3

，
E（Y）=3×

1

2

+2×

2

3

=

17

6

，
∵E（3X₁）＞E（Y）＞E（2X₂），
∴小亮两次都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望最大．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，是中档题．