Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2DE=2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD=2EF．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角C-BF-D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间向量及应用

分析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD=30°，由AO²=AB²+BD²-2AB•BDcos30°，
解得BD=

3

，所以AB²+BD²=AB²，根据勾股定理得∠ADB=90°
所以AD⊥BD．
又因为DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥DE．
又因为BD∩DE=D，所以AD⊥平面BDEF，又AD?平面ABCD，
∴平面ADE⊥平面BDEF．
（Ⅱ）可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
设DE=h，则D（0，0，0），B（0，

3

，0），C（-

1

2

，-

3

2

，h）.

BC

=(-

1

2

，-

3

2

，0)，

BF

=(0，-

3

2

，h)．
设平面BCF的法向量为m=（x，y，z），
则

m• BC =0 m BF =0

所以

-0.5x- 3 2 y=0 - 3 2 y+hz=0

取x=

3

，所以m=（

3

，-1，-

3

2h

），
取平面BDEF的法向量为n=（1，0，0），
由|cos＜m，n＞|=

m•m

|m|•|n|

=cos60°，解得h=

6

8

，则DE=

6

8

，
又

CF

=(

1

2

，0，

6

8

)，则CF=

22

8

，设CF与平面ABCD所成角为α，
则sinα=

6

8

+

22

8

=

33

11

．
故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为

33

11

．

点评：本题主要考查空间面面垂直的判断条件，以及线面角的计算，利用空间向量法是解决本题的关键．