Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点A（0，-1）
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆C的短轴端点分别为A、B，直线AM、BM分别与椭圆C交于E、F两点，其中点M（m，

1

2

）满足m≠0且m≠±

3

，试证明直线EF与y轴交点的位置与m的值无关．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

c a = 3 2 b=1

，解得a2=4，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由已知得直线AM•的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1，由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），由

x2 4 +y2=1  y= 3 2m x-1

，得F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

，由此能证明EF与y轴交点的位置与m无关．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点A（0，-1）
∴

c a = 3 2 b=1

，解得a2=4．
∴椭圆C：

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵A(0，1)，B(0，-1)，M(m，

1

2

)且m≠0，
∴直线AM的斜率为k1=-

1

2m

，
直线BM的斜率为k2=

3

2m

，
直线AM的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得（m²+1）x²-4mx=0，
解得x=0或x=

4m

m2+1

，∴E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），…（6分）
由

x2 4 +y2=1  y= 3 2m x-1

，得（m²+9）x²-12mx=0，
解得x=0，x=

12m

m2+9

，∴F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）．…（8分）
m≠0，m²≠3，
直线EF的斜率
k=

m2-1 1+m2 - 9-m2 9+m2

4m 1+m2 - 12m 9+m2

=

(m2+3)(m2-3)

-4m(m2-3)

=-

m2+3

4m

．…（10分）
∴直线EF的方程为y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，
令x=0，得y=2，∴EF与y轴交点的位置与m无关．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与y轴交点的位置与m无关的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．