Question

某校高一学生参加社会实践活动，调查某种产品的生产和销售情况时发现：该产品的出厂价格在6元基础上按月份随正弦曲线波动，已知在一个周期内3月份出厂价最高为8元，7月份出厂价最低为4元，而该商品在商店内的销售价格是在8元基础山按月份随正弦曲线波动的，并已知在一个周期内5月份出厂价最高为10元，9月份销售价最低为6元．学校超市每月进这种商品m件，并且当月售完．请你根据以上调查情况估计超市哪个月份盈利最大？并说明理由．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：分别设出出厂价波动函数和售价波动函数，利用最高和最低价分别振幅A和B，根据月份求得周期进而求得ω₁和ω₂，根据最大值求得φ₁和φ₂，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表达式，利用正弦函数的性质求得y取最大值时x的值．

解答： 解：设出厂价波动函数为y₁=6+Asin（ω₁x+φ₁）
根据最高价格和最低价格可知A=2，T₁=8，ω₁=

π

4

，

3π

4

+φ₁=

π

2

，φ₁=-

π

4

∴y₁=6+2sin（

π

4

x-

π

4

）
设销售价波动函数为y₂=8+Bsin（ω₂x+φ₂）
易知B=2，T₂=8，ω₂=

π

4

，

5

4

π+φ₂=

π

2

，φ₂=-

3π

4

∴y₂=8+2sin（

π

4

x-

3

4

π）
每件盈利  y=y₂-y₁=[8+2sin（

π

4

x-

3π

4

）][6+2sin（

π

4

x-

π

4

）]=2-2

2

sin

π

4

x
当sin

π

4

x=-1，

π

4

x=2kπ-

π

2

，x=8k-2时，y取最大值
当k=1，即x=6时，y最大 
∴估计6月份盈利最大．

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数的模型的问题．突显了运用三角函数的图象和性质来解决问题．