Question

如图，四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，F是CE上一点，BF⊥平面ACE，点M，N分别是CE，DE的中点．
（1）求证：MN∥平面ABE；
（2）若BE=4，BC=3，AE=BE，求DE与面BCE所成角的余弦．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可证得；
（2）运用线面垂直的性质和判定，证得AE⊥平面BCE，从而AE⊥BE，求出AB，在△ABE内，过E作AB的垂线EH，垂足为H，证得EH⊥平面ABCD，设D到平面BCE的距离为d，射影为K，则由体积相等，得V_D-BCE=V_E-BCD，求出d=4，
由∠DEK为DE与面BCE所成角，以及三角函数的余弦即可得到．

解答： （1）证明：∵点M，N分别是CE，DE的中点．
∴MN∥CD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴MN∥AB，
∵MN?平面ABE，AB?平面ABE，
∴MN∥平面ABE；
（2）解：∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，
∵AE=BE=4，∴AB=4

2

，
在△ABE内，过E作AB的垂线EH，垂足为H，则EH=2

2

，
∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥EH，
∴EH⊥平面ABCD，
设D到平面BCE的距离为d，射影为K，则由体积相等，得
V_D-BCE=V_E-BCD，即有

1

3

d•S_△BCE=

1

3

•EH•S_△BCD，
d•12=2

2

•12

2

，则d=4．
∵AD∥BC，∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE，
∴ED=5，
∵∠DEK为DE与面BCE所成角，
EK=

25-16

=3，
∴DE与面BCE所成角的余弦为

3

5

．

点评：本题考查直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行、垂直的判定和性质，同时考查线面角的求法，考查基本的运算能力，属于中档题．