Question

如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=AF=a，AB=2CD=2a．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCE；
（Ⅲ）求四棱锥C-ABEF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）求证AF∥BE，而后可得，AF∥平面BCE；（Ⅱ）由AC⊥BC，BE⊥AC可证AC⊥平面BCE；（Ⅲ）利用体积公式求四棱锥C-ABEF的体积．

解答： 解：
（I）因为四边形ABEF为矩形，
∴AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，
∴四边形ADCM为矩形．
∴AM=MB=a．
又∵AD=a，AB=2CD=2a，
∴AC=

2

a，BC=

2

a．
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，
∴BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC．BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE．
（III）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
CM⊥AB，CM?平面ABCD，
∴CM⊥平面ABEF．
VC-ABEF=

1

3

CM•S矩形ABEF=

1

3

×a×a×2a=

2

3

a3．

点评：考查了线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理及锥体体积公式，是高考的热点，属于中档题．