Question

已知

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）
（1）若x∈[

π

2

，

9π

8

]时，求f（x）=2

a

•

b

+1的最大值并求出相应x值．
（2）若x=

π

6

，求

a

与

c

夹角．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意可得f（x）=2

a

•

b

+1=

2

sin（2x-

π

4

），结合x∈[

π

2

，

9π

8

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值以及相应的x的值．
（2）若x=

π

6

，设

a

与

c

夹角为θ，再根据cosθ=

a • c

| a |•| c |

的值，求得

a

与

c

夹角θ的值．

解答： 解：（1）由题意可得f（x）=2

a

•

b

+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
结合x∈[

π

2

，

9π

8

]，可得2x-

π

4

∈[

3π

4

，2π]，故当2x-

π

4

=

3π

4

时，即x=

π

2

时，函数f（x）取得最大值为1．
（2）若x=

π

6

，设

a

与

c

夹角为θ，则由题意可得|

a

|=|

c

|=1，且

a

•

c

=-cosx=-

3

2

，
再根据cosθ=

a • c

| a |•| c |

=-

3

2

，θ∈[0，π]，可得θ=

5π

6

，即

a

与

c

夹角为

5π

6

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的定义域和值域，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．