Question

如图，已知AC⊥平面CDE，BD∥AC，△ECD为等边三角形，F为ED边的中点，CD=BD=2AC=2 
（1）求证：CF∥面ABE；
（2）求证：面ABE⊥平面BDE：
（3）求三棱锥F-ABE的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取BE的中点G，连FG，AG，证明四边形ACFG为平行四边形，从而证明CF∥面ABE．（2）证明CF⊥面BDE，从而证明平面ABE⊥平面BDE，（3）找到底面与高求体积．

解答： 解：（1）证明：取BE的中点G，连FG，AG，
则FG∥

1

2

BD，又∵AC∥

1

2

BD，
∴四边形ACFG为平行四边形，
∴CF∥AG，又∵CF?面ABE，AG?面ABE；
∴CF∥面ABE．
（2）证明：∵△ECD为等边三角形，
∴CF⊥ED；
又∵CF⊥BD，
∴CF⊥面BDE，
又∵CF∥AG，
∴AG⊥面BDE，又∵AG?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BDE．
（3）∵CF⊥面BDE，AC∥面BDE，
∴VF-ABE=VA-BEF=VC-BEF=

1

3

•(

1

2

•1•2)•

3

=

3

3

．

点评：本题考查的比较全面．用到了平行四边形说明平行，线面平行判定定理，及线面垂直判定定理及面面垂直判定定理等，属于中档题．