Question

已知五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，五边形ABCDE中，BA⊥AE，AB⊥BC，AB=2

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，PA=BC=CD=DE=EA=2．
（1）证明：BE∥平面PCD；
（2）若M、N、F分别是BE、PC、CD的中点，证明：平面MNF⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知推BE∥CD，最终可推出BE∥平面PCD；（2）证明MN⊥CD，CD⊥MF，从而证明CD⊥平面MNF，最终推出平面MNF⊥平面PCD．

解答： 解：（1）证明：在五边形ABCDE中，BA⊥AE，AB⊥BC，
可知AE∥BC，连接CE，因AE=BC，
则四边形ABCE是平行四边形，又AB⊥BC，
则四边形ABCE是矩形，AB=CE=2

3

，
又CD=DE=2，
则∠CDE=120°，∠ECD=∠DEC=30°，
则∠BCD=120°，
在△BCE中，CE=2

3

，BC=2，∠BCE=90°
则∠EBC=60°，
所以BE∥CD．
∴BE∥平面PCD．
（2）连接AC，由（1）知ABCE是矩形，M是BE的中点，
则M是AC的中点，又∵N是PC的中点，
则MN∥PA，又∵PA⊥平面ABCDE．
则MN⊥平面ABCDE，
则MN⊥CD，
在△BCE中，CE=2

3

，BC=2，∠BCE=90°，
则BE=4，∠EBC=60°，
又∵四边形ABCE是矩形，
∴AC=4，MB=MC=2=BC，可得∠BMC=60°，
又∵BE∥CD；
则∠MCD=60°，
又∵MC=2，CF=

1

2

CD=1，
则∠MFC=90°，
即CD⊥MF．
∴CD⊥平面MNF，
∴平面MNF⊥平面PCD．

点评：本题考查了空间几何体中数量的运算，并通过运算判定线线，线面的位置关系，同时考查了线面平行的判定定理，及面面垂直的判定定理，属于中档题．