Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，地面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：DE⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角E-BD-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）求出

BC

=(-1，0，0)，

PC

=(0，1，-1)，

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，利用向量法能证明DE⊥平面PBC．
（Ⅲ）求出平面EDB的法向量和平面CDB的法向量，利用向量法能示出二面角E-BD-C的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，
连结AC，设AC交BD于点G，
连结EG，依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，

1

2

，

1

2

），
∵底面ABCD是正方形，∴G是正方形ABCD的中点，∴G（

1

2

，

1

2

，0），
∴

PA

=(1，0，-1)，

EG

=(

1

2

，0，-

1

2

)，
∴

PA

=2

EG

，即PA∥EG，
∵EG?平面EDB，PA不包含于平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（Ⅱ）证明：依题意B（1，1，0），C（0，1，0），

BC

=(-1，0，0)，

PC

=(0，1，-1)，
又

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，
∴

BC

•

DE

=0，

PC

•

DE

=0+

1

2

-

1

2

=0，
∴BC⊥DE，PC⊥DE，
又BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC．
（Ⅲ）解：设平面EDB的法向量

n

=(x，y，z)，

DE

=(0，

1

2

，

1

2

)，

DB

=(1，1，0)，
∴

n • DE = 1 2 y+ 1 2 z=0 n • DB =x+y=0

，
取x=1，得

n

=(1，-1，1)，
又平面CDB的法向量

m

=(0，0，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
∴二面角E-BD-C的平面角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查PA∥平面EDB、DE⊥平面PBC的证明，考查二面角E-BD-C的平面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．