Question

设函数f（x）=x-1-

lnx

x

．
（Ⅰ）令N（x）=x²-1+lnx，判断N（x）在（0，+∞）上的单调性并求所有的零点；
（Ⅱ）求f（x）在定义域上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意n∈N^*，n≥2，都有：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…

1

lnn

＞1-

1

n

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导判定N（x）单调性，再求零点；
（Ⅱ）求导找到最小值；
（Ⅲ）由f（x）≥0推

1

lnk

＞

1

k2-k

=

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，得解．

解答： 解：（Ⅰ）∵N′（x）=2x+

1

x

＞0，
∴N（x）在（0，+∞）上单调递增；
那么N（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，
由N（1）=1-1+0=0，则N（x）在（0，+∞）上唯一零点为x=1．
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=1-

1-lnx

x2

=

N(x)

x2

，
则①当0＜x＜1时，N（x）＜0，则f′（x）＜0，
②当x＞1时，N（x）＞0，则f′（x）＞0，
则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
则f（x）_min=f（1）=0．
（Ⅲ）由f（x）=x-1-

lnx

x

≥0可得，
x²-x≥lnx（x＞0）
令x=k≥2，
则k²-k＞0，lnk＞0，k²-k＞lnk；
则

1

lnk

＞

1

k2-k

=

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

则

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…

1

lnn

＞

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

．

点评：本题综合性很强，考查了导数的综合应用，零点个数的判定，不等式的证明及裂项求和的方法，属于难题．