Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求证：平面PAD与平面PAB垂直；
（2）求直线PC与直线AB所成角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明BC⊥PB，BC⊥AB，进而证明BC⊥平面PAB；（2）确定直线PC与直线AB所成的角为∠PCD；在三角形中求解．

解答： 解：（1）证明：∵∠PBC=90°，
∴BC⊥PB，
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，
∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB．
（2）∵AB∥CD，
∴∠PCD为直线PC与直线AB所成的角，
在直角三角形PAD中，
∵PA=AD=1，
∴PD=

2

，
在△PAB中，∵PA=1，AB=2，∠PAB=120°，
∴PB=

1+22-2•1•2•cos120°

=

1+4+2

=

7

；
在Rt△PAC中，PC=2

2

，
在△PCD中，cos∠PCD=

4+8-2

2×2×2 2

=

5 2

8

故直线PC与直线AB所成角的余弦值为

5 2

8

．

点评：考查了线面垂直的判定定理，同时考查了余弦定理，属于基础题．