Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点（1，e）在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P．试用|AF₁|，|BF₂|表示|PF₁|+|PF₂|，并证明|PF₁|+|PF₂|是定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题设知c=1，由点（1，e）在椭圆上，得

1

a2

+

e2

b2

=1，求出b，即可求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AF₁|、|BF₂|，利用直线AF₁与直线BF₂平行，点B在椭圆上知，可PF₁=

AF1

AF1+BF2

×（2

2

-BF₂），同理PF₂=

BF2

AF1+BF2

×（2

2

-AF₁），由此可求得PF₁+PF₂是定值．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知c=1，由点（1，e）在椭圆上，得

1

a2

+

e2

b2

=1，∴b=1，a=

2

．
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由

x12 2 +y12=1 x1+1=my1

，可得（m²+2）y₁²-2my₁-1=0．
∴y₁=

m+ 2m2+2

m2+2

，
∴|AF₁|=

m2+1

×|0-y₁|=

2 (m2+1)+m m2+1

m2+2

①
同理|BF₂|=

2 (m2+1)-m m2+1

m2+2

②
∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴

PB

PF1

=

BF2

AF1

，即PF₁=

AF1

AF1+BF2

×BF₁．
 由点B在椭圆上知，BF₁+BF₂=2

2

，∴PF₁=

AF1

AF1+BF2

×（2

2

-BF₂）．
 同理PF₂=

BF2

AF1+BF2

×（2

2

-AF₁）．
∴|PF₁|+|PF₂|=

AF1

AF1+BF2

×（2

2

-BF₂）+

BF2

AF1+BF2

×（2

2

-AF₁）=2

2

-

2AF1×BF2

AF1+BF2

．
 由①②得，|AF₁|+|BF₂|=

2 2 (m2+1)

m2+2

，|AF₁||BF₂|=

m2+1

m2+2

，
∴|PF₁|+|PF₂|=

3 2

2

．
∴PF₁+PF₂是定值．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题．