Question

已知曲线y=

1

3

x³+

4

3

的切线l过点A（2，4），则切线l与y=x²及x轴围成图形的面积为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分

专题：导数的综合应用

分析：求出函数y=

1

3

x³+

4

3

在点A（2，4）处的切线方程，然后把切线l与y=x²及x轴围成图形的面积转化为定积分

∫

1 0

x2dx

+∫

2 1

(x2-4x+4)dx求解．

解答： 解：∵点A（2，4）在曲线y=

1

3

x³+

4

3

上，
y′=x²，
∴y′|_x=2=4，
∴切线l的方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
联立

y=x2 4x-y-4=0

，解得：x=2．
∴切线l与y=x²及x轴围成图形的面积为：

∫

1 0

x2dx

+∫

2 1

(x2-4x+4)dx=

1

3

x3

|

1 0

+(

1

3

x3-2x2+4x

)|

2 1

=

1

3

+

8

3

-8+8-

1

3

+2-4=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了定积分的求法，是中档题．