Question

设f（x）=sinx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应x的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，满足f（A）=1．求sin（2B+C）的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，故当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z时，f（x）取得最大值为

2

2

+

1

2

，从而得出结论．
（Ⅱ）在锐角△ABC中，由f（A）=1，结合-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

，求得A=

π

4

，可得 B+C=

3π

4

，可得

3π

4

＜2B+C＜

5π

4

，再根据正弦函数的定义域、值域，求得sin（2B+C）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx（sinx+cosx）=sin²x+

1

2

sin2x=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，
故当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z时，f（x）取得最大值为

2

2

+

1

2

，此时，x=kπ+

3π

8

，k∈z．
（Ⅱ）在锐角△ABC中，∵满足f（A）=

2

2

sin（2A-

π

4

）+

1

2

=1，求得sin（2A-

π

4

）=

2

2

．
再结合-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

，可得 2A-

π

4

=

π

4

，求得A=

π

4

，∴B+C=

3π

4

，∴

3π

4

＜2B+C＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin（2B+C）＜

2

2

．

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．