Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，A₁B⊥C₁C，AC=BC．
（1）求证A₁A⊥A₁C；
（2）若A₁A=A₁C，求二面角B-A₁C-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,证明题

分析：（1）由A₁A⊥BC，A₁A⊥A₁B证明A₁A⊥平面A₁BC，进而证明A₁A⊥A₁C；（2）通过空间直角坐标系中向量的运算求余弦值．

解答： 解：（1）∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁A⊥BC，
∵A₁B⊥C₁C，A₁A∥CC₁
∴A₁A⊥A₁B，
∴A₁A⊥平面A₁BC，
∴A₁A⊥A₁C；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C-xyz．
设AC=BC=2，
∵A₁A=A₁C，
则A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（1，0，1），C（0，0，0）．

CB

=（0，2，0），

CA1

=（1，0，1），

A1B1

=

AB

=（-2，2，0）．
设

n1

=（a，b，c）为面BA₁C的一个法向量，则

n1

•

CB

=

n1

•

CA1

=0，
则

2b=0 a+c=0

取a=1，

n1

=（1，0，-1）．
同理，面A₁CB₁的一个法向量为

n2

=（1，1，-1）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

. n1   . . n2   .

=

6

3

，
∴二面角B-A₁C-B₁的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理，用到了面面垂直的定义，也考查了在空间直角坐标系中求角的方法，属于中档题．