Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（1）利用三棱锥的体积计算公式即可得出；
（2）由于BC∥AD，可得∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，由PA⊥平面ABCD，可得BC⊥PB，再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答： 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
高PA=2，BC=AD=2，AB=1，
∴S_△ABC=

1

2

×2×1=1．
故V_P-ABC=

1

3

×SABC×PA=

1

3

×1×2=

2

3

．
（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=

1

2

PB=

5

2

，
tanθ=

BE

BC

=

5

4

，
∴异面直线EC和AD所成的角是arctan

5

4

．

点评：本题考查了三棱锥的体积计算公式、异面直线所成的角，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．