Question

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，平面A′BC⊥侧面A′ABB′．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）设点M是线段A′C′中点，点N是线段A′C中点，若AB=BC=AA′=2，求四棱锥C-MNBB′的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）利用直三棱柱的性质、面面垂直的性质即可得出；
（II）利用线面垂直的判定定理和性质定理、三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答： （I）证明：如图，作A在A′B上的射影D．
∵平面ABC⊥侧面A′ABB′，且平面A′BC∩侧面A′ABB′=A′B，
∴AD⊥平面A′BC．
∵BC?平面A′BC，∴AD⊥BC，
∵三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
∴AA′⊥底面ABC，
∴AA′⊥BC．
又AA′∩AD=A，∴BC⊥侧面A′ABB′，AB?侧面A′ABB′，
故AB⊥BC．
（II）解：延长MN交AC于点G，MN为△AC′C的中位线．
∴MN∥CC′，
∵CC′⊥面ABC，
∴MN⊥面ABC，
∵AC?面ABC，∴MN⊥AC，
∵AB=BC，G为中点，∴BG⊥AC．
∵BG∩MN=G，
∴AC⊥面BGN，即CG为四棱锥C-MNBB′的高．
∵CG=

1

2

AC=

1

2

22+22

=

2

，
∴S梯形MNBB′=

1

2

×(1+2)×

2

=

3

2

2

，
V四棱锥C-MNBB′=

1

3

×

3

2

2

×

2

=1．

点评：本题考查了直三棱柱的性质、面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．