Question

某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为

1

2

．
（1）若规定每投进1球得2分，求甲同学投篮4次得分X的概率分布和数学期望；
（2）假设某同学连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

专题：概率与统计

分析：（1）由题意知X=0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．
（2）连续3次投篮未中，不同投法为1+

C

1 6

+

C

2 6

+(

C

3 6

-4)+(

C

1 3

+

C

1 3

)=44，累计7次投篮未中，不同投法为：

C

1 3

+1=4，由此能求出该同学恰好投篮10次停止投篮测试的概率．

解答： 解：（1）由题意知X=0，2，4，6，8，
P（X=0）=

C

0 4

(

1

2

)4=

1

16

，
P（X=2）=

C

1 4

(

1

2

)(

1

2

)3=

4

16

，
P（X=4）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2=

6

16

，
P（X=6）=

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)=

4

16

，
P（X=8）=

C

4 4

(

1

2

)4=

1

16

，
∴X的概率分布列为：

X	0	2	4	6	8
P	1 16	4 16	6 16	1 4	1 16

…（2分）
E（X）=0×

1

16

+2×

1

4

+4×

6

16

+6×

1

4

+8×

1

16

=4．…（4分）
（2）①连续3次投篮未中，不同投法为：
1+

C

1 6

+

C

2 6

+(

C

3 6

-4)+(

C

1 3

+

C

1 3

)=44，
②累计7次投篮未中，不同投法为：

C

1 3

+1=4（种），
所以该同学恰好投篮10次停止投篮测试的概率为P=

48

1024

=

3

64

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，是中档题．