Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）设c_n=

2bn

an•an+1

，
①判定数列{c_n}的单调性，并求数列{c_n}的最大值．
②求

lim

n→∞

（c₁+c₂+…+c_n）．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式配方变形得到数列{a_n+1}为等比数列；
（2）由{a_n+1}为等比数列，求其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式，代入b_n=log₂（a_n+1）得数列{b_n}的通项公式；
（3）①由c_n=

2bn

an•an+1

得到c_n+1，作比证明数列{c_n}单调递减并求其最大值；
②利用裂项相消法求得c₁+c₂+…+c_n，则

lim

n→∞

（c₁+c₂+…+c_n）可求．

解答： （1）证明：由S_n=2a_n-n，
当n=1时，S₁=2a₁-1，得a₁=1．
∵S_n=2a_n-n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1．
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得an+1=2n，
∴an=2n-1，n∈N*．
∴bn=log2(an+1)=log22n=n；
（3）解：∵c_n=

2bn

an•an+1

，
∴cn+1=

2bn+1

an+1an+2

，
①∵

cn+1

cn

=

2bn+1 an+1an+1

2bn anan+1

=

an

an+1

•2bn+1-bn=

2n-1

2n+1-1

•2=1-

1

2n+1-1

＜1，
∴数列{c_n}单调递减．
当n=1时数列{c_n}的最大值为c1=

2

1×3

=

2

3

．
②由cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴c₁+c₂+…+c_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

．
∴

lim

n→∞

（c₁+c₂+…+c_n）=

lim

n→∞

(1-

1

2n+1-1

)=1．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了裂项相消法求数列的和，考查了数列极限的求法，是压轴题．