Question

己知函数f（x）=lnx-lna，g（x）=ae^x，其中a为常数，函数y=f（x）和y=g（x）的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．
（1）求函数F（x）=f（x）-g（x-1）的单调区间；
（2）若不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）=lnx-lna，g（x）=ae^x，我们可以求出函数y=f（x）的图象与Y轴的交点和y=g（x）的图象与X轴交点的坐标，求出两个函数的导函数后，根据函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，即两函数在交点处的导数值相等，构造关于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在区间[1，+∞）上恒成立，则xlnx-k（x²-1）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，构造函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵g（x）=ae^x，
∴g′（x）=ae^x，函数g（x）=ae^x只于Y轴交于（0，a），且g′（0）=a
又∵f（x）=lnx-lna，
∴f′（x）=

1

x

，
又∵函数f（x）=lnx-lna只于X轴交于（a，0）点
∴f′（a）=

1

a

又∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
∴a=1
∴F（x）=lnx-e^x-1，
∴F′（x）=

1-xex-1

x

，
令h（x）=1-xe^x-1，则h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（1）=0，
∴（0，1）上h（x）＞0，F′（x）＞0，函数单调递增；
（1，+∞）上h（x）＜0，F′（x）＜0，函数单调递减，
∴函数F（x）=f（x）-g（x-1）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在区间[1，+∞）上恒成立，则xlnx-k（x²-1）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
令φ（x）=xlnx-k（x²-1）（x≥1），则φ′（x）=lnx+1-2kx，
令u（x）=lnx+1-2kx，则u′（x）=

1-2kx

x

①k≤0，u′（x）＞0，φ′（x）在[1，+∞）上单调递增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函数单调递增，
∴φ（x）≥φ（1）=0，不合题意，舍去；
②0＜k＜

1

2

，x∈（1，

1

2k

），u′（x）＞0，φ′（x）在（1，

1

2k

）上单调递增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函数单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=0，不合题意，舍去；
③k≥

1

2

，u′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，φ′（x）在[1，+∞）上单调递减，φ′（x）φ′（1）=1-2k≤0，函数单调递减，
∴φ（x）≤φ（1）=0，即xlnx-k（x²-1）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴k的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合应用，直线平行与斜率的关系，导数法求直线的斜率，函数恒成立问题，其难度大．