Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两切线，切点分别为A、B，
（1）求证：PA⊥PB；
（2）求证：A、F、B三点共线；
（3）求

FA • FB

FP 2

的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由抛物线方程求出抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A，B的坐标，求出原函数的导函数，利用导数相等列式得到a²-2an-4=0，b²-2bn-4=0．从而得到a，b是方程x²-2nx-4=0的两根，则答案得证；
（2）求出直线AB的斜率，写出直线方程的点斜式，从而得到直线AB过定点F；
（3）求出

FA

•

FB

，

FP

2，作比后得答案．

解答： （1）证明：准线l的方程为：y=-1，F（0，1），
设P（n，-1），A（a，

a2

4

），B（b，

b2

4

），
∵y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x．
∴kPA=

a

2

=

a2 4 +1

a-n

，即a²-2an-4=0．
kPB=

b

2

=

b2 4 +1

b-n

，即b²-2bn-4=0．
∴a，b是方程x²-2nx-4=0的两根．
则ab=-4．即

a

2

•

b

2

=-1．
∴PA⊥PB；
（2）证明：由（1）知，a+b=2n，kAB=

b2 4 - a2 4

b-a

=

b+a

4

=2n，
∴直线AB方程为y=

b+a

4

(x-a)+

a2

4

．
即y=

b+a

4

x-

ba

4

．
∵a+b=2n，ab=4，
∴AB方程为y=

1

2

nx+1．
∴直线AB过点F，
即A、F、B三点共线；
（3）

FA

•

FB

=(a，

a2

4

-1)(b，

b2

4

-1)=ab+(

a2

4

-1)(

b2

4

-1)
=ab+

(a2-4)(b2-4)

16

=-n²-4．

PF

=(-n，2)，
∴

FP

2=n2+4．
则

FA • FB

FP 2

=-1．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了平面向量在解题中的应用，综合考查了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，是压轴题．