Question

已知S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
（1）求S₂，S₄的值；
（2）若T_n=

7n+11

12

，试比较S2n与T_n的大小，并给出证明．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1，4代入S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，求出S₂，S₄的值；
（2）令n=1，2，3代入S2n与T_n，并比较大小关系，进行猜想：当n≥3时，S2n＞Tn，再用数学归纳法证明，再证明n=k+1成立时需用上假设，注意在证明过程的放缩目标，一定与结论有关系．

解答： 解：（1）由题意得，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
则S₂=1+

1

2

=

3

2

，
S₄=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

，…（2分）
（2）由T_n=

7n+11

12

得，
当n=1，2时，T1=

7+11

12

=

3

2

，T2=

7×2+11

12

=

25

12

，所以S2n=T_n，
当n=3时，T3=

7×3+11

12

=

8

3

，
S23=S8=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

=

761

280

＞

8

3

=T3，
于是猜想，当n≥3时，S2n＞Tn．…（4分）
下面用数学归纳法证明：①当n≥3，显然成立；
②假设n=k（k≥3）时，S2k＞Tk；
那么当n=k+1时，S2k+1=S2k+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+1

＞

7k+11

12

+（

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k-1

）+（

1

2k+2k-1+1

+

1

2k+2k-1+2

+…+

1

2k+1

）
＞

7k+11

12

+

1

2k+2k-1

×2k-1+

1

2k+1

×2k-1
=

7k+11

12

+

1

3

+

1

4

=

7(k+1)+11

12

，
这就是说，当n=k+1时，S2n＞Tn．
根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有S2n＞Tn．
综上得，当n=1，2时，S2n=Tn；当n≥3时，S2n＞Tn． …（10分）

点评：本题考查数列求和问题，主要考查数列与不等式的综合问题，以及用数学归纳法证明与正整数有关的命题，还有放缩法的应用，难度很大．