Question

已知动点P到定点F（1，0）的距离与点P到定直线l：x=4的距离之比为

1

2

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若

EM

•

FN

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设点P（x，y），由条件列出方程，两边平方，并化简方程，即可得到；
（2）求出F，E的坐标，可设M（4，y₁），N（4，y₂），由

EM

•

FN

=0，得到15+y₁y₂=0，y₂=-

15

y1

，求出|MN|=|y₁-y₂|=|y₁|+|y₂|运用基本不等式求出最小值即可．

解答： 解：（1）设点P（x，y），依题意，有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
两边平方，整理得

x2

4

+

y2

3

=1．
所以动点P的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）F的坐标为（1，0），点E与点F关于原点O对称，所以E（-1，0），
∵M，N是直线l上的两个点，可设M（4，y₁），N（4，y₂），
由

EM

•

FN

=0
∴（5，y₁）•（3，y₂）=0，
15+y₁y₂=0，y₂=-

15

y1

，且y₁与y₂异号，
∴|MN|=|y₁-y₂|=|y₁|+|y₂|=|y₁|+

15

|y1|

≥2

15

，
当且仅当|y₁|=

15

，即M（4，

15

），N（4，-

15

）时等号成立，
故|MN|的最小值为2

15

．

点评：本题考查轨迹方程的求法：直接法，考查平面向量的垂直的坐标表示，基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，属于较基础题．