Question

定义非零向量

OM

=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

OM

=（a，b）称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）已知h（x）=cos（x+a）+2cosx，求证：h（x）∈S；
（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足条件：a=3且0＜b≤

3

，向量

OM

的“相伴函数”f（x） 在x=x₀处取得最大值．当点M运动时，求tan2x₀的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）只要将h（x）化为asinx+bcosx即可；
（2）利用向量的模的计算以及三角函数最值的求法解答；
（3）利用三角函数求f（x）取最大值时的x值，结合倍角公式以及直线OM的斜率求tan2x₀的范围．

解答： 解：（1）证明：∵h（x）=cos（x+a）+2cosx=-sina•sinx+（2+cosa）cosx，
∴函数h（x）的相伴向量

OM

=（-sina，2+cosa），
∴h（x）∈S；
（2）|

OM|

=

(sina)2+(2+cosa)2

=

5+4cosa

，
∴cosa=1时，|

OM

|max=

5+4

=3；
cosa=-1时，|

OM

|min=

5-4

=1．
∴|

OM

|的取值范围为[1，3]．
（3）

OM

的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），
其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

．
当x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z时，f（x）取得最大值．
∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，
∴tan2x₀=

2tanx0

1-tan2x0

=

2× a b

1-( a b )2

=

2

b a - a b

，

b

a

为直线OM的斜率，由几何意义知

b

a

∈（0，

3

3

]，
令m=

b

a

，则tan2x₀=

2

m- 1 m

，m∈（0，

3

3

]，
当m∈（0，

3

3

]时，m-

1

m

∈（-∞，-

2 3

3

]，
∴tan2x₀∈[-

3

，0）．

点评：本题考查了向量与三角函数相结合的新定义的问题；向量模的计算以及三角函数最值的求法．