Question

已知向量

m

=（1，cosωx），

n

=（sinωx，

3

）（ω＞0），f（x）=

m

•

n

且y=f（x）图象上一个最高点的坐标为（

π

12

，2），与之相邻的一个最低点的坐标为（

7π

12

，-2）
（1）求y=f（x）的解析式
（2）求y=f（x）的递增区间
（3）若x∈[0，

π

2

]时，求y=f（x）的最值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用数量积的坐标表示，化简函数f（x），由相邻最高点和最低点的坐标，求出周期，运用周期公式求出ω，即可得到函数f（x）的表达式；
（2）运用正弦函数的单调增区间，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解出x即可；
（3）由x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，即可得到最值．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=sinωx+

3

cosωx=2（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）=2sin（ωx+

π

3

），
∵y=f（x）图象上一个最高点的坐标为（

π

12

，2），与之相邻的一个最低点的坐标为（

7π

12

，-2）
∴

T

2

=

7π

12

-

π

12

，即T=π，∴ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
故y=f（x）的递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]k∈Z．
（3）x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
则函数的值域为[-

3

，2]．
故函数的最大值为2，此时x=

π

12

；最小值为-

3

，此时x=

π

2

．

点评：本题考查三角函数式的求法，考查三角函数的单调性和值域、最值，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，属于中档题．