Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+1=4a_n+2，（n∈N^*），a₁=2，
（1）设b_n=a_n+1-λa_n，数列{b_n}为等比数列，求实数λ的值；
（2）设c_n=

an

2n

（n∈N^*），求数列{c_n}的通项公式；
（3）令d_n=（

1

2log2 an n

-

1

log2 an+1 n+1

）•2ⁿ⁺¹，求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2，得a_n+1=S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2）（n≥2），由此能求出λ=2．
（2）由已知得b_n=a_n+1-2a_n=4•2^n-1，将a_n+1-2a_n=4•2^n-1两边同除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=4•2^-2=1，由此能求出c_n=n．
（3）由cn=

an

2n

=n，得an=n•2n，从而d_n=

2n

n

-

2n+1

n+1

，由此能求出Tn=2-

2n+1

n+1

．

解答： 解：（1）由S_n+1=4a_n+2，得a_n+1=S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2）（n≥2）
∴a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1）
故数列{a_n+1-2a_n} 是以a₂-2a₁为首项，2为公比的等比数列，
∵b_n=a_n+1-λa_n，数列{b_n}为等比数列，
∴λ=2．
（2）由a₁=2，a₁+a₂=S₂=4a₁+2，
∴a₂=8，
∴b_n=a_n+1-2a_n=4•2^n-1，
将a_n+1-2a_n=4•2^n-1两边同除以2ⁿ⁺¹，
得

an+1

2n+1

-

an

2n

=4•2^-2=1，即c_n+1-c_n=1，
故{c_n}是以c₁=

a1

2

=1为首项，1为公差的等差数列，
∴c_n=n．
（3）∵cn=

an

2n

=n，∴an=n•2n，
∴d_n=（

1

2log2 an n

-

1

log2 an+1 n+1

）•2ⁿ⁺¹
=（

1

2n

-

1

n+1

）•2ⁿ⁺¹
=

2n

n

-

2n+1

n+1

，
∴T_n=2-

22

2

+

22

2

-

23

3

+…+

2n

n

-

2n+1

n+1

=2-

2n+1

n+1

．
∴Tn=2-

2n+1

n+1

．

点评：本题考查实数值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．