Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若a²+b²-c²=absin2C
（1）求角C；
（2）若c-a=2，

AB

•

AC

=36，求sinA+sinB-sinC．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由余弦定理即可求出角C；
（2）根据数量积的运算公式及直角三角形ABC中，cosA=

b

c

，即可求出b=6．由c-a=2及c²-a²=36即可求出a，c，这样由正弦定理即可求出sinA+sinB-sinC．

解答： 解：（1）根据余弦定理：a²+b²-c²=2abcosC=absin2C；
∴2cosC=2sinCcosC；
∵cosC≠0，sinC=1；
∴C=

π

2

；
（2）如下图：

AB

•

AC

=cbcosA=cb•

b

c

=36；
∴b=6，∴c²-a²=36   ①；
又c-a=2，∴c=2+a带入①得：（2+a）²-a²=36，解得a=8，∴c=10；
又sinC=1，∴由正弦定理得：

8

sinA

=

6

sinB

=10，∴sinA=

4

5

，sinB=

3

5

；
∴sinA+sinB-sinC=

4

5

+

3

5

-1=

2

5

．

点评：本题考查余弦定理，数量积的运算公式，直角三角形边角关系，正弦定理．