Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，P点在以AD为直径的半圆弧上运动（不包括端点）
（Ⅰ）证明：PA⊥PC；
（Ⅱ）当二面角P─BC─D达到最大值时，求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AP⊥PD，CD⊥AP，从而AP⊥平面PCD，由此能证明AP⊥PC．
（Ⅱ）当P点运动到圆弧的最高点（圆弧中心）时，二面角P─BC─D最大，作DO⊥PC，交点为O，∠DAO即为直线AD与平面PAC所成夹角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵p点在圆弧上，∴AP⊥PD
又∵PAD⊥平面ABCD，CD⊥交线AD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AP
由以上两点可知：AP⊥平面PCD
∴AP⊥PC．
（Ⅱ）解：当P点运动到圆弧的最高点（圆弧中心）时，
二面角P─BC─D最大，
作DO⊥PC，交点为O，
∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥DO
∴DO⊥平面PAC，
∴∠DAO即为直线AD与平面PAC所成夹角，
PD=

2

，
∵平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，
∴在直角△PDC中可得，DO=

2

3

，
∴sin∠DAO=

DO

AD

=

6

6

，
∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为

6

6

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．