Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，设b_n=log

1

3

a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为S_n，求数列{

1

Sn

}（n∈N^*）的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a₃²=9a₂a₆，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由各项都为正数得到满足题意q的值，再根据等比数列的通项公式化简2a₁+3a₂=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，再求出a_n、b_n；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的bn求出{b_n}的前n项和为S_n，再表示出

1

Sn

并进行裂项，代入数列{

1

Sn

}（n∈N^*）的前n项和T_n，各项相消后在化简．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²，所以q²=

1

9

，
由条件可知各项均为正数，所以q=

1

3

，
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

所以数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3

•

1

3n-1

=

1

3n

，
则b_n=log

1

3

a_n=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，S_n=1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

，
所以

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
所以T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

点评：本题考查灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会运用裂项相消法求数列的和，是一道中档题．