Question

如图，以椭圆C：

x2

4

+y²=1的左顶点T为圆心作圆T与椭圆C交于点M，N．
（Ⅰ）求

TM

•

TN

的最小值，并求此时圆T的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别于x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0，由于点M在椭圆G上，得y12=1-

x12

4

，由已知T（-2，0），则

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），从而

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+2）²-y12=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

，当x1=-

8

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

，由此能求出圆T的方程为（x+2）²+y²=

13

25

．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则直线MP的方程为：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

(x-x0)，令y=0，得xR=

x1y0-x0y1

y0-y1

，同理，xS=

x1y0+x0y1

y0+y1

，故x_R•x_S=

x12y02-x02y12

y02-y12

，由此能证明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值．

解答： （Ⅰ）解：∵点M与点N关于x轴对称，
设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0，
由于点M在椭圆G上，∴y12=1-

x12

4

，（*）
由已知T（-2，0），则

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），
∴

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+2）²-y12=（x₁+2）²-（1-

x12

4

）=

5

4

x12+4x₁+3=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

，
∵-2＜x₁＜2，
∴当x1=-

8

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

，
由（*）式y1=

3

5

，
又点M在圆T上，代入圆的方程，得r²=

13

25

，
故圆T的方程为（x+2）²+y²=

13

25

．
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀），则直线MP的方程为：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

(x-x0)，
令y=0，得xR=

x1y0-x0y1

y0-y1

，
同理，xS=

x1y0+x0y1

y0+y1

，
故x_R•x_S=

x12y02-x02y12

y02-y12

，（**）
又点M与点P在椭圆上，
∴x02=4(1-y02)，x12=4(1-y12)，
代入（**）式，
得x_R•x_S=

4(1-y12)y02-4(1-y02)y12

y02-y12

=

4(y02-y12)

y02-y12

=4．
∴|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值．

点评：本题考查向量的数量积的最小值的求法，并求此时圆T的方程，考查|OR|•|OS|为定值的证明．解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．